七年级数学下 杨辉三角

发布日期：2025-04-13 08:55    点击次数：50

  杨辉三角相信很多人都不陌生，南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中出现，它是一个无限对称的数字金字塔，从顶部的单个1开始，下面一行中的每个数字都是上面两个数字的和。

图片

图片

1．我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算术》一书中，用如图的三角形揭示了（a+b）n（n为非负整数）展开式的项数及各项系数的有关规律，根据“杨辉三角”请计算（a+b）6的展开式中从左起第四项的系数为（　　）

（a+b）0＝1

（a+b）1＝a+b

（a+b）2＝a2+2ab+b2

（a+b）3＝a3+3a2b+3ab2+b3

（a+b）4＝a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4

…

 

图片

  A．10  B．15  C．20  D．25

解：找规律发现（a+b）4的第四项系数为4＝3+1；

（a+b）5的第四项系数为10＝6+4；

∴（a+b）6的第四项系数为20＝10+10．

故选：C．

图片

2．我国宋朝数学家杨辉在他的著作《详解九章算法》中提出“杨辉三角”（如图），此图揭示了（a+b）n（n为非负整数）展开式的项数及各项系数的有关规律．

例如：

（a+b）0＝1

（a+b）1＝a+b

（a+b）2＝a2+2ab+b2

（a+b）3＝a3+3a2b+3ab2+b3

（a+b）4＝a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4

…

请你猜想（a+b）9的展开式中所有系数的和是（　　）

 

图片

  A．2018  B．512  C．128  D．64

解：展开式共有n+1项，系数和为2n．

∴（a+b）9的展开式中所有系数的和是：29＝512

3．我国宋朝数学家杨辉在他的著作《详解九章算法》中提出“杨辉三角”（如图），此图揭示了（a+b）n（n为非负整数）展开式的项数及各项系数的有关规律．例如：（a+b）0＝1，它只有一项，系数为1；（a+b）1＝a+b，它有两项，系数分别为1，1，系数和为2；（a+b）2＝a2+2ab+b2，它有三项，系数分别为1，2，1，系数和为4；（a+b）3＝a3+3a2b+3ab2+b3，它有四项，系数分别为1，3，3，1，系数和为8；…根据以上规律，（a+b）n展开式的系数和为 　     　．

 

图片

解：（a+b）0＝1，系数为1，20＝1

（a+b）1＝a+b，系数和为2，21＝2

（a+b）2＝a2+2ab+b2，系数和为4，22＝4

（a+b）3＝a3+3a2b+3ab2+b3，系数和为8，23＝8，

..．

（a+b）n展开式的系数和为：2n，

故答案为：2n．

4．我国宋朝数学家杨辉在他的著作《详解九章算法》中提出“杨辉三角”（如图），此图揭示了（a+b）n（n为非负整数）展开式的项数及各项系数的有关规律．

例如：（a+b）0＝1，它只有一项，系数为1；

（a+b）1＝a+b，它有两项，系数分别为1，1，系数和为2；

（a+b）2＝a2+2ab+b2，它有三项，系数分别为1，2，1，系数和为4；

（a+b）3＝a3+3a2b+3ab2+b3，它有四项，系数分别为1，3，3，1，系数和为8；

…

根据以上规律，解答下列问题：

（1）（a+b）4展开式共有　   　项，系数分别为　            　；

（2）写出（a+b）5的展开式：（a+b）5＝　                  　；

（3）（a+b）n展开式共有　        　项，系数和为　     　．

 

图片

【分析】（1）本题通过阅读理解寻找规律，观察可得（a+b）n（n为非负整数）展开式的各项系数的规律：首尾两项系数都是1，中间各项系数等于（a+b）n﹣1相邻两项的系数和．因此可得（a+b）4的各项系数分别为1、（1+3）、（3+3）、（3+1）、1即可；

（2）由（1）得出的规律，即可得出结果；

（3）根据题意得出（a+b）n展开式共有（n+1）项，当a＝b＝1时，（a+b）n＝2n即可．

解：（1）根据题意知，（a+b）4的展开后，共有5项，

各项系数分别为1、（1+3）、（3+3）、（3+1）、1，

即：1、4、6、4、1；

故答案为：5，1，4，6，4，1；

（2）根据题意得：（a+b）5的展开式为a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+b5．

故答案为a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+b5；

（3）当a＝b＝1时，（a+b）n＝2n．

故答案为：（n+1），2n．

5．我国宋朝数学家杨辉在他的著作《详解九章算法》中提出“杨辉三角”（如下图），此图揭示了（a+b）n（n为非负整数）展开式的项数及各项系数的有关规律．

例如：

（a+b）0＝1，它只有一项，系数为1；

（a+b）1＝a+b，它有两项，系数分别为1，1，系数和为2；

（a+b）2＝a2+2ab+b2，它有三项，系数分别为1，2，1，系数和为4；

（a+b）3＝a3+3a2b+3ab2+b3，它有四项，系数分别为1，3，3，1，系数和为8；

…

根据以上规律，解答下列问题：

（1）（a+b）4展开式共有　   　项，系数分别为　            　；

（2）（a+b）n展开式共有　        　项，系数和为　     　．

 

图片

【分析】经过观察发现，这些数字组成的三角形是等腰三角形，两腰上的数都是1，从第3行开始，中间的每一个数都等于它肩上两个数字之和，展开式的项数比它的指数多1．根据上面观察的规律很容易解答问题．

解：（1）展开式共有5项，展开式的各项系数分别为1，4，6，4，1，

（2）展开式共有n+1项，系数和为2n．

故答案为：（1）5；1，4，6，4，1；（2）（n+1），2n．

6．我国古代数学家在数学发展史上硕果累累，“杨辉三角”就是其中一项，如图1左侧数字部分就是“杨辉三角”的局部，它揭示了（a+b）n（n为非负整数）的展开式的项数及各项系数的有关规律．请你观察，并根据此规律写出：（a+b）5＝　                  　．

图片

【分析】经过观察发现，这些数字组成的三角形是等腰三角形，两腰上的数都是1，从第3行开始，中间的每一个数都等于它肩上两个数字之和，展开式的项数比它的指数多1．根据上面观察的规律很容易解答问题．

解：（a+b）5＝a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+b5．

故答案为：a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+b5．

7．南宋数学家杨辉在其著作《详解九章算法》中揭示了（a+b）n（n为非负整数）展开式的项数及各项系数的有关规律如图，后人也将如图表称为“杨辉三角”．

（a+b）0＝1

（a+b）1＝a+b

（a+b）2＝a2+2ab+b2

（a+b）3＝a3+3a2b+3ab2+b3

（a+b）4＝a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4

（a+b）5＝a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+b5…

则（a+b）2020展开式中所有项的系数和是　        　（结果用指数幂表示）．

【分析】通过阅读理解寻找规律，观察可得（a+b）n（n为非负整数）展开式的各项系数的规律：首尾两项系数都是1，中间各项系数等于（a+b）n﹣1相邻两项的系数和．

解：展开式共有n+1项，系数和为2n．

∴（a+b）2020的展开式中所有系数的和是：22020．

故答案为：22020．

8．阅读下面的材料，解答下列问题：

我国宋朝数学家杨辉在他的著作《详解九章算法》中提出“杨辉三角”（如图），此图揭示了（a+b）n（n为非负整数）展开式的项数及各项系数的有关规律．

（a+b）1＝a+b，（a+b）2＝a2+2ab+b2，（a+b）3＝a3+3a2b+3ab2+b3．

根据以上规律，解答下列问题：

（1）（a+b）4展开式共有 　   　项，第二项系数为 　   　；系数和为 　     　．

（2）根据上述规律，将（a+b）5展开；

（3）利用上述规律计算：993+3×992+3×99+1．

 

图片

【分析】（1）本题通过阅读理解寻找规律，观察（a+b）n展开式的各项系数的规律，即可求解；

（2）观察（a+b）n展开式的各项系数的规律，即可求解；

（3）将原式写成“杨辉三角”的展开式形式，即可得结果．

解：（1）由“杨辉三角”规律可知：（a+b）4展开式的系数分别为1，4，6，4，1，

∴（a+b）4展开式共五项，第二项系数为4，系数和＝1+4+6+4+1＝16，

故答案为：5，4，16；

（2）根据题意得：（a+b）5展开式的系数分别为，1，5，10，10，5，1，

∴（a+b）5＝a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+b5；

（3）993+3×992+3×99+1

＝（99+1）3

＝1003

＝106．

9．我国宋朝数学家杨辉在他的著作《详解九章算法》中提出“杨辉三角”，如图所示，此图揭示了（a+b）n（n为非负整数）展开式的项数及各项系数的有关规律．例如：（a+b）0＝1，它只有1项，系数为1；（a+b）1＝a+b，它有2项，系数分别为1，1，系数和为2；（a+b）2＝a2+2ab+b2，它有3项系数分别为1，2，1，系数和为4；（a+b）3＝a3+3a2b+3ab2+b3，它有4项，系数分别为1，3，3，1，系数和为8…．

根据以上规律，解答下列问题．

（1）（a+b）4的展开式共有 　   　项，系数分别为 　            　．

（2）（a+b）n的展开式共有 　        　项，系数和为 　     　．

（3）计算：25+5×24+10×23+10×22+5×2+1．

 

图片

【分析】（1）根据图形可得（a+b）4的各项系数分别为1、（1+3）、（3+3）、（3+1）、1；

（2）通过阅读理解寻找规律，观察可得（a+b）n（n为非负整数）展开式的各项系数的规律：首尾两项系数都是1，中间各项系数等于（a+b）n﹣1相邻两项的系数和，因此即可得出结果；

（3）根据（2）可得原式＝（2+1）5，再计算即可．

解：（1）根据题意知，（a+b）4的展开后，共有5项，

各项系数分别为1、（1+3）、（3+3）、（3+1）、1，

即：1、4、6、4、1；

故答案为：5；1，4，6，4，1；

（2）根据题意，得（a+b）n的展开式共有（n+1）项，

（a+b）0的系数和为1＝20，

（a+b）1的系数和为2＝21，

（a+b）2的系数和为4＝22，

（a+b）3的系数和为8＝23，

⋯，

由此规律可得，（a+b）n的系数和为2n．

∴（a+b）n的展开式共有（n+1）项，系数和为2n．

故答案为：（n+1），2n；

（3）25+5×24+10×23+10×22+5×2+1＝（2+1）5＝243．

10．我国宋朝数学家杨辉在他的著作《详解九章算法》中提出“杨辉三角”（如图），此图揭示了（a+b）n（n为非负整数）展开式的项数及各项系数的有关规律．

例如：（a+b）0＝1，它只有一项，系数为1；（a+b）1＝a+b，它有两项，系数分别为1，1，系数和为2；（a+b）2＝a2+2ab+b2，它有三项，系数分别为1，2，1，系数和为4；（a+b）3＝a3+3a2b+3ab2+b3，它有四项，系数分别为1，3，3，1，系数和为8；…根据以上规律，解答下列问题：

（1）（a+b）4展开式共有　   　项，系数分别为　            　；

（2）（a+b）n展开式共有　      　项，系数和为　     　．

（3）根据上面的规律，写出（a+b）5的展开式．

 

图片

【分析】（1）本题通过阅读理解寻找规律，观察可得（a+b）n（n为非负整数）展开式的各项系数的规律：首尾两项系数都是1，中间各项系数等于（a+b）n﹣1相邻两项的系数和．因此可得（a+b）4的各项系数分别为1、（1+3）、（3+3）、（3+1）、1即可；

（2）根据题意得出（a+b）n展开式共有（n+1）项，当a＝b＝1时，（a+b）n＝2n即可．

（3）由（1）得出的规律，即可得出结果．

解：（1）根据题意知，（a+b）4的展开后，共有5项，

各项系数分别为1、（1+3）、（3+3）、（3+1）、1，

即：1、4、6、4、1；

故答案为：5，1，4，6，4，1

（2）当a＝b＝1时，（a+b）n＝2n．

故答案为：n+1，2n．

（3）根据题意得：（a+b）5的展开式为a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+b5．

11．我国宋朝数学家杨辉在他的著作《详解九章算法》中提出“杨辉三角”（如图），此图揭示了（a+b）n（n为非负整数）展开式的项数及各项系数的有关规律．

例如：（a+b）0＝1，它只有一项，系数为1；（a+b）1＝a+b，它有两项，系数分别为1，1，系数和为2；（a+b）2＝a2+2ab+b2，它有三项，系数分别为1，2，1，系数和为4；（a+b）3＝a3+3a2b+3ab2+b3，它有四项，系数分别为1，3，3，1，系数和为8；

…

根据以上规律，解答下列问题：

（1）（a+b）4展开式共有　   　项，系数分别为　            　；

（2）（a+b）n展开式共有　      　项，系数和为　     　．

 

图片

【分析】本题通过阅读理解寻找规律，观察可得（a+b）n（n为非负整数）展开式的各项系数的规律：首尾两项系数都是1，中间各项系数等于（a+b）n﹣1相邻两项的系数和．因此可得（a+b）4的各项系数分别为1、（1+3）、（3+3）、（3+1）、1，即：1、4、6、4、1．

解：（1）根据题意知，（a+b）4的展开后，共有5项，

各项系数分别为1、（1+3）、（3+3）、（3+1）、1，

即：1、4、6、4、1；

（2）当a＝b＝1时，（a+b）n＝2n．

故答案为：（1）5，1，4，6，4，1；（2）n+1，2n．

图片

12．我国宋朝数学家杨辉在他的著作《详解九章算法》中提出“杨辉三角”（如图），此图揭示了（a+b）n（n为非负整数）展开式的项数及各项系数的相关规律．

例如：（a+b）0＝1，它只有一项，系数为1；

（a+b）1＝a+b，它有两项，系数分别为1，1，系数和为2；

（a+b）2＝a2+2ab+b2，它有三项，系数分别为1，2，1，系数和为4；

根据以上规律，解答下列问题：

（1）（a+b）5展开式共有 　   　项，系数和为 　     　．

（2）求（2a﹣1）5的展开式；

（3）利用表中规律计算：25﹣5×24+10×23﹣10×22+5×2﹣1（不用表中规律计算不给分）；

（4）设（x+1）17＝a17x17+a16x16+…+a1x+a0，则a1+a2+a3+…+a16+a17的值为 　        　．

图片

【分析】（1）认真读懂图1，写出下一行数字，填空即可；

（2）按照系数，展开式的书写形式展开即可；

（3）读懂表中的数据规律，可以把算式写出（2﹣1）5的形式，再计算；

（4）让x取特殊值，计算出a1+a2+a3+…+a16+a17的值．

解：（1）根据图表中的规律，

可得：（a+b）5展开式共有 6项，系数和为 1+5+10+10+5+1＝32，

故答案为：6，32；

（2）（2a﹣1）5

＝25a5+5×24a4（﹣1）+10×23a3（﹣1）2+10×22a2（﹣1）3+5×2a（﹣1）4+（﹣1）5

＝32a5﹣80a4+80a3﹣40a2+10a﹣1；

（3）根据图表中数据的规律可以发现：

25﹣5×24+10×23﹣10×22+5×2﹣1＝（2﹣1）5，

∴25﹣5×24+10×23﹣10×22+5×2﹣1＝1；

（4）∵（x+1）17＝a17x17+a16x16+…+a1x+a0，

∴当x＝1时，

（1+1）17＝a0+a1+a2+a3+…+a16+a17，

当x＝0时，

（0+1）17＝a0＝1，

∴217＝1+a1+a2+a3+…+a16+a17，

∴a1+a2+a3+…+a16+a17的值为217﹣1．

故答案为：217﹣1．

13．我国宋朝数学家杨辉在他的著作《详解九章算法》中提出“杨辉三角”（如图），此图揭示了（a+b）n（n为非负整数）展开式的项数及各项系数的相关规律．

例如：（a+b）0＝1，它只有一项，系数为1；

（a+b）1＝a+b，它有两项，系数分别为1，1，系数和为2；

（a+b）2＝a2+2ab+b2，它有三项，系数分别为1，2，1，系数和为4；

根据以上规律，解答下列问题：

（1）（a+b）5展开式的系数和是 　     　；（a+b）n展开式的系数和是 　     　．

（2）当a＝2时，（a+b）5展开式的系数和是 　      　；（a+b）n展开式的系数和是 　     　．

图片

【分析】（1）根据杨辉三角找出系数和的规律求解．

（2）特殊值法求解．

解：（1）由杨辉三角得：

（a+b）²的系数和为：1+2+1＝4＝2²，

（a+b）³的系数和为：1+3+3+1＝8＝2³，

···，

（a+b）5展开式中各项的系数和为：25＝32，

（a+b）n的展开式中各项的系数和为：2n．

故答案为：32，2n．

（2）当a＝2时，（a+b）²＝（2+b）²＝4+4b+b²，系数和为：4+4+1＝9＝3²，

当a＝2时，（a+b）³＝2³+3×2²×b+3×2×b²+b³，系数和为：8+12+6+1＝27＝3³，

∴依此类推：当a＝2，（a+b）5＝35＝243，（a+b）n展开式的系数和是3n．

故答案为：243，3n．

本站仅提供存储服务，所有内容均由用户发布，如发现有害或侵权内容，请点击举报。